webpirat
19.05.2009, 10:06
Originally posted by Aprilscherz
... Es ist doch wirklich verblüffend, wie sehr das 2/3-Gesetz doch immer gilt. Und noch verblüffender ist, warum dieses Gesetz besagt, dass 2/3 der Zahlen getroffen werden, und ein Drittel nicht.
Nein, das ist nicht verblüffend.
Ich gewinne den Eindruck, dass Vielen nicht klar ist, wie das Zweidrittelgesetz sich herleitet.
Deshalb erkläre ich das Zweidrittelgesetz mal ausführlich in 6 Zügen:
Wir wählen die Transversalen simple und rechnen ohne die Zero (die würde nur irritieren).
Beobachtet werden 6 Coups, das ist eine komplette TvS-Rotation.
Die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen einer TvS ist genau 1/6 (ein Sechstel).
1. Coup
Irgendeine TvS muss kommen, das ist klar.
Nach dem 1. Coup haben wir
1 TvS, die gefallen ist
6 - 1 = 5 TvS, die nicht gefallen sind (Restanten)
Für die weitere Betrachtung müssen wir lernen, mit Kommazahlen zu rechnen und zu kumulieren, d.h. die gefallenen neuen TvS nach jedem Coup hinzu zu addieren. Die Anzahl der offenen TvS (Restanten) ist dann 6 minus die gefallenen TvS.
2. Coup
Jetzt kann Folgendes passieren:
Die bereits gekommene TvS fällt noch einmal, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6,
oder
eine der 5 TvS, die noch offen sind, fällt, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6 = 0,8333.
Nach dem 2. Coup haben wir
1 + 0,8333 TvS, die gefallen sind = 1,8333
6 - 1,8333 Restanten = 4,1667
So geht es jetzt weiter, immer bezogen auf den aktuellen Stand.
3. Coup
eine der 4,1667 TvS, die noch offen sind, fällt, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 4,1667/6 = 0,6944
Nach dem 3. Coup haben wir
1,8333 + 0,6944 TvS, die gefallen sind = 2,5277
6 - 2,5277 Restanten = 3,4723
Es ist mir zu mühsam, auch die nächsten 3 Coups noch in dieser Weise zu beschreiben.
Ich zeige deshalb einfach eine Excel-Tabelle, die Werte sind gerundet auf 4 Nachkommastellen:
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-TvS.gif
Unten, gelb markiert, das mathematische Ergebnis nach 6 Coups. Ziemlich genau 4 TvS sind erschienen (einmal oder öfters), 2 TvS sind noch nicht erschienen. Voila – das Zweidrittelgesetz!
Es hat natürlich nur Gültigkeit als Durchschnittswert für eine große Anzahl Coups. Der wird dann aber stets sehr genau erreicht!
Selbstverständlich können in 6 Würfen auch alle 6 verschiedenen TvS fallen oder 6x die gleiche TvS (das ist allerdings schon sehr selten).
Das Zweidrittelgesetz ist also kein Hokuspokus, sondern recht einfach mathematisch herzuleiten.
Und weil Excel das so schön macht hier noch die Tabelle für 12 Sätze auf die Transversalen plein
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-TvP.gif
und für 36 Sätze auf (36) Pleinzahlen (also ein Kessel ohne die Zero):
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-Plein.gif
Bei TvP und Plein sind es nicht mehr genau 2/3, das Zweidrittelgesetz ist nur als ein Näherungswert zu betrachten.
:pirat: webpirat
... Es ist doch wirklich verblüffend, wie sehr das 2/3-Gesetz doch immer gilt. Und noch verblüffender ist, warum dieses Gesetz besagt, dass 2/3 der Zahlen getroffen werden, und ein Drittel nicht.
Nein, das ist nicht verblüffend.
Ich gewinne den Eindruck, dass Vielen nicht klar ist, wie das Zweidrittelgesetz sich herleitet.
Deshalb erkläre ich das Zweidrittelgesetz mal ausführlich in 6 Zügen:
Wir wählen die Transversalen simple und rechnen ohne die Zero (die würde nur irritieren).
Beobachtet werden 6 Coups, das ist eine komplette TvS-Rotation.
Die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen einer TvS ist genau 1/6 (ein Sechstel).
1. Coup
Irgendeine TvS muss kommen, das ist klar.
Nach dem 1. Coup haben wir
1 TvS, die gefallen ist
6 - 1 = 5 TvS, die nicht gefallen sind (Restanten)
Für die weitere Betrachtung müssen wir lernen, mit Kommazahlen zu rechnen und zu kumulieren, d.h. die gefallenen neuen TvS nach jedem Coup hinzu zu addieren. Die Anzahl der offenen TvS (Restanten) ist dann 6 minus die gefallenen TvS.
2. Coup
Jetzt kann Folgendes passieren:
Die bereits gekommene TvS fällt noch einmal, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6,
oder
eine der 5 TvS, die noch offen sind, fällt, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6 = 0,8333.
Nach dem 2. Coup haben wir
1 + 0,8333 TvS, die gefallen sind = 1,8333
6 - 1,8333 Restanten = 4,1667
So geht es jetzt weiter, immer bezogen auf den aktuellen Stand.
3. Coup
eine der 4,1667 TvS, die noch offen sind, fällt, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 4,1667/6 = 0,6944
Nach dem 3. Coup haben wir
1,8333 + 0,6944 TvS, die gefallen sind = 2,5277
6 - 2,5277 Restanten = 3,4723
Es ist mir zu mühsam, auch die nächsten 3 Coups noch in dieser Weise zu beschreiben.
Ich zeige deshalb einfach eine Excel-Tabelle, die Werte sind gerundet auf 4 Nachkommastellen:
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-TvS.gif
Unten, gelb markiert, das mathematische Ergebnis nach 6 Coups. Ziemlich genau 4 TvS sind erschienen (einmal oder öfters), 2 TvS sind noch nicht erschienen. Voila – das Zweidrittelgesetz!
Es hat natürlich nur Gültigkeit als Durchschnittswert für eine große Anzahl Coups. Der wird dann aber stets sehr genau erreicht!
Selbstverständlich können in 6 Würfen auch alle 6 verschiedenen TvS fallen oder 6x die gleiche TvS (das ist allerdings schon sehr selten).
Das Zweidrittelgesetz ist also kein Hokuspokus, sondern recht einfach mathematisch herzuleiten.
Und weil Excel das so schön macht hier noch die Tabelle für 12 Sätze auf die Transversalen plein
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-TvP.gif
und für 36 Sätze auf (36) Pleinzahlen (also ein Kessel ohne die Zero):
http://www.zufallsforschung.de/Bilder/Zweidrittelgesetz-Plein.gif
Bei TvP und Plein sind es nicht mehr genau 2/3, das Zweidrittelgesetz ist nur als ein Näherungswert zu betrachten.
:pirat: webpirat